Problème de Lebesgue

Problème non résolu à ce jour

• https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue's_universal_covering_problem intéressant non traduit en français

What is the minimum area of a convex shape that can cover every planar set of diameter one ? (the set may be rotated, translated or reflected to fit inside the shape).

Lié à cet autre problème : https://en.wikipedia.org/wiki/Moser's_worm_problem

Ensemble de diamètre 1

• https://fr.wikipedia.org/wiki/Diamètre

Le diamètre d'un ensemble de points est la distance entre ses 2 points les plus éloignés

• Un ensemble de points disposés à l'intérieur du cercle unité (cercle de diamètre 1 (au sens usuel)) est un ensemble convexe de diamètre 1.
  • Surface = Pi x r x r = Pi/4 ~ 0,785398163... C'est un minorant trivial pour la solution du problème de Lebesgue.

• Le carré de diagonale 1 est un ensemble convexe de diamètre 1. Mais ce carré est contenu dans le cercle unité. Ce n'est donc pas une forme très intéressante.

Pour appréhender et approcher la solution du problème de Lebesgue, il faut a priori s'intéresser aux formes susceptibles de "déborder" le plus du cercle unité, tout en restant de diamètre 1 et convexes.

• n'importe quel triangle isocèle de cotés 1 et de base inférieure ou égale à 1 est un ensemble convexe de diamètre 1, et qui n'est pas contenu dans le cercle unité.

• Un ensemble de points disposés à l'intérieur d'un triangle équilatéral de coté 1 est un ensemble convexe de diamètre 1.
  • Surface = base x hauteur / 2 = 1 x sqrt(3)/2 x 0.5 = sqrt(3)/4 ~ 0,433012702...
  • Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans le cercle unité (sur un dessin, c'est immédiat).
  • Les 3 sommets du triangle équilatéral de coté 1 réalisent la dispersion maximale possible pour 3 points (chacun des points est à distance maximum des 2 autres). Cette dispersion est elle-même supérieure à la dispersion de n points pour n > 3. (Impossible de rajouter un point supplémentaire (différents des 3 sommets) tel qu'il agrandisse le cercle exinscrit). Cela nous donne donc un majorant pour la solution du problème de Lebesgue. Le rayon du cercle exinscrit est 1/sqrt(3) ~ 0,577350269 et sa surface est Pi x r x r = Pi/3 = 1,047197551. C'est pas un majorant extraordinaire, mais c'est déjà ça.

• L'intersection Z de 3 disques de rayons 1 centrés sur 3 points A,B,C placés aux sommets d'un triangle équilatéral de coté 1 est aussi une surface possible pour un ensemble convexe de diamètre 1.
  • Il s'agit en fait d'un triangle équilatéral de coté 1 "un peu gonflé"
  • chaque angle d'un triangle équilatéral vaut 60°. Le secteur angulaire d'angle 60° d'un disque de rayon 1 a une surface de Pi/6 ~ 0,523598776... , cette surface est la somme du triangle équilatéral de coté 1 + un petit onglet. cet onglet vaut donc (Pi/6)-sqrt(3)/4 = 0,523598776-0,433012702 ~ 0,090586074. La surface de Z est donc 3 x 0,090586074 + sqrt(3)/4 = 0,271758221 + 0,433012702 = 0,704770923
  • Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans un disque de diamètre 1. Sur un dessin, cela est immédiat.

• Le pentagone régulier : sauf erreur, on peut construire un pentagone régulier de diamètre 1 et qui ne tienne pas dans le cercle unité. En effet, comme pour le triangle équilatéral (et sans doute tous les polygones réguliers impairs, chaque sommet fait face à un milieu de coté. Si on inscrit un polygone régulier impair dans le cercle unité, il y a toujours de la marge pour tirer légèrement un sommet hors du cercle unité, tout en restant de diamètre 1 (faut faire un dessin pour le voir).

• tout polygone irrégulier inscrit dans le cercle unité et ayant au moins 1 sommet qui "fait face" à un coté (faire face = de l'autre coté du centre du cercle, en ligne droite) doit pouvoir, par une légère déformation de ce sommet (tirage vers l'extérieur), ne plus être contenu dans le cercle unité.

• tout polygone irrégulier précédent, où chaque coté est (comme pour le triangle équilatéral) remplacé par l'arc de cercle centré sur le sommet en face. Notons que ceci génère une surface supérieure, mais n'augmente à priori pas la dispersion maximale (qui reste donnée par les sommets).

Pages connexes

• Maths